「誕生日のパラドックス」をご存じですか？～誕生日が一致する確率～

誕生日が同じ人と出会うと特別な縁を感じませんか？意外と少ない人数で、少なくとも2人の同じ誕生日が一致する確率が高い現象のことを「誕生日のパラドックス」と呼びます。それではくわしく見ていきましょう！  

次のことを仮定します。 

・1年は365日（うるう年を考慮せず）　・誕生日がどの日になるかの確率は1/365  

余事象の考え方で求めます。まずは「余事象」について学んでいきましょう。  

余事象とは？

ある事象(イベント)が起こるのに対して、それが起こらない事象を余事象という。 

たとえばサイコロを振り「１」の目が出る事象Aに対する余事象は「2から6」の目が出る事象であり、確率全体“1”から事象Aが起こる確率をひき算します。   

誕生日が全員バラバラになる確率は？ 

＜2人の場合＞ 

片方の誕生日以外の日が、1年(365日)のうち、もうひとりの誕生日であればよいので、 

＜3人の場合＞ 

3人めが、さらに異なる誕生日であればよいので、 

同様に考えると、 

＜n人の場合＞ 

と表せます。

これを

とすると、

グループ内のひと組以上の誕生日が同じ確率は

これをグラフにしてみると、

23人を集めれば、そのなかに誕生日が一致する確率が50%を超え、41人を集めれば90%を超えます。

遭遇率は意外と低め？ 

学校内で、自分と同じ誕生日の人と遭遇したことはありますか？

「ある！」と思った方もいると思いますが、ほとんどの人は自分と同じ誕生日の人と遭遇したことはないと思います。  

それはなぜか？ 

上記で述べた確率は、「同じ誕生日の２人組が存在する確率」であって、「自分自身と同じ誕生日の人がいる確率」ではないからです。

実際に「自分自身と同じ誕生日の人がいる確率」は、

で、グラフにするとこのようになります。         

23人の場合を計算すると、約5.8%となり、41人でも約10.6%でみなさんが日常で感じる確率に近いのではないでしょうか。 

ちなみに50%を超えるのは253人です。  

今回は、同じ誕生日の人がいても、実際に出会うことは少ないという感覚を数学的に示してみました！  

ふとした疑問を「数学」的に考えてみてはいかがでしょうか。

【「数検」について】

実用数学技能検定「数検」（後援＝文部科学省。対象：１～11級）は、数学・算数の実用的な技能（計算・作図・表現・測定・整理・統計・証明）を測り、論理構成力をみる記述式の検定で、公益財団法人日本数学検定協会が実施している全国レベルの実力・絶対評価システムです。おもに、数学領域である１級から５級までを「数学検定」と呼び、算数領域である６級から11級、かず・かたち検定までを「算数検定」と呼びます。第１回を実施した1992年からの累計志願者数は700万人を突破しており、いまや数学・算数に関する検定のスタンダードとして進学・就職に必須の検定となっています。日本国内はもちろん、フィリピンやカンボジア、インドネシア、タイなどでも実施され（累計志願者数は50,000人以上）、海外でも高い評価を得ています。※志願者数はのべ数です。

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